Optische Abbildungsformeln

Grundlagen zur Objektivauswahl auf einen Blick 
Wie bereits erwähnt, werden unsere Objektive für unterschiedliche Aufgaben in der industriellen Bildverarbeitung eingesetzt. Die nachfolgenden Informationen über die wichtigsten technisch-optischen Grundlagen sowie die Qualitätsmerkmale der Objektive sollen dem Anwender helfen, das für seine Anwendung am besten geeignete Objektiv auszuwählen.

1. Grundlegende Zusammenhänge der optischen Abbildung

1.1 Erläuterungen zu einfachen Abbildungsgesetzen
Für die folgenden vereinfachten und daher nur näherungsweise gültigen formelmäßigen Abbildungsbeziehungen sind die in der Abbildung dargestellten Grundbeziehungen mit positivem Zahlenwert zu betrachten. Dies entspricht zwar nicht der in der Optik üblichen Vorzeichenkonvention, ist aber für den vorliegenden Zweck einfacher zu handhaben.

Brennweite
Ein Strahl nahe der optischen Achse, der von einem unendlich weit entfernten Objekt ausgeht, schneidet die optische Achse bildseitig im Brennpunkt F'. Der Abstand dieses Brennpunktes von der Bezugsebene (Hauptebene) des Objektivs ist die Brennweite f'. Für die Objektseite gilt analog f = -f'.

Grundgrößen
f, f' Brennweite
a Objektweite
a' Bildweite
y Objektgröße
y' Bildgröße
2 w Bildwinkel

Technisch-optische Grundgröße nach DIN 1335

Optische Abbildung
Ein Objekt der Größe y, das sich im Abstand der Objektweite a vor dem Objektiv befindet, wird durch das Objektiv in die Bildebene abgebildet, die sich im Abstand der Bildweite a' hinter dem Objektiv befindet. Dort befindet sich der Bildsensor der Kamera. Die Bildgröße ist y'. Die Änderung der Bildgröße in Abhängigkeit von der Objektgröße wird durch den

Abbildungsmaßstab

Bildwinkel
Die maximale Ausdehnung des Objekts, die vom Objektiv erfasst wird, kann, ausgehend von der Bezugsebene des Objektivs, durch den Bildwinkel w beschrieben werden. Befindet sich das Objekt im Unendlichen, so befindet sich das Bild im Brennpunkt F' des Objektivs. In diesem Fall besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen dem Bildwinkel w, der Bildgröße y' und der Brennweite f': 

Blendenzahl
Die Blendenzahl k ist ein Maß für die Beleuchtungsstärke (Bildhelligkeit). Sie ist abhängig von der Brennweite f' und dem Durchmesser der Eintrittspupille ⌀EP, die das Bild der Blende im Objektraum darstellt. Schaut man von vorne in das Objektiv, so sieht man den Durchmesser EP. Somit ist

Extreme Naheinstellung
Objektive sind für einen bestimmten Bereich von Objektentfernungen ausgelegt, in der Regel von unendlich bis zu einer bestimmten minimalen Objektdistanz (MOD). Für eventuell erforderliche kürzere Einstellentfernungen reicht die mögliche Verschiebung (Hub) des Objektvs aus der Bildebene zur Fokussierung nicht mehr aus. Hier bieten sich zwei Möglichkeiten an, sehr nahe Objekte aufzunehmen, wobei mit Einbußen in der Abbildungsqualität gerechnet werden muss.

a) Mit Hilfe eines Zwischenrings kann der Abstand Objektiv-Bild vergrößert werden. Die Länge des Zwischenrings z' ergibt sich aus der Brennweite f' und dem Abbildungsmaßstab β' (Objektiv in Stellung ∞):

b) Mit Hilfe einer Vorsatzlinse (Nahlinse) kann die Objektweite verkürzt werden. Bei Einstellung des Objektivs auf unendlich (∞) ergibt sich vor der Nahlinse ein Objektabstand a, der der Brennweite entspricht. Der Kehrwert dieser erforderlichen Brennweite (= erforderliche Einstellstrecke a) ergibt die erforderliche Brechkraft D der Vorsatzlinse, die in Dioptrien (dpt = 1/m) angegeben wird:

Anwender-Formeln
a    Objektweite = Abstand Objekt-Objektiv in mm (OH)
y    Objektgröße (halbe Diagonale) in mm
y'   Bildgröße (halbe Diagonale) in mm
       für 1/2"-Format: 2 y' = 8 mm
       für 2/3"-Format: 2 y' = 11 mm
      für 1/A"-Format: 2 y' = 16 mm

β' Abbildungsmaßstab = y'/y

Brennweite

Bildwinkel

Objektgröße

Bildgröße

Objektweite

Schärfentiefe (Bereich)

a_v    Objektweite vorne (in Lichtrichtung), die noch scharf abgebildet wird
a_h    Objektweite hinten (in Lichtrichtung), die noch scharf abgebildet wird.

Der Bereich der Objektweite zwischen a_v und a_h wird als Schärfentiefe bezeichnet.

u⌀' Unschärfekreisdurchmesser je nach Anwendungsfall zu definieren.
Sinnvoll ist z.B. für das 2/3"-Format u⌀' = 30 μm.
 

1.2 Berechnungsbeispiele
(1) Gegeben: Objektgröße, Abstand und Sensorformat;
       Gesucht: Brennweite des Objektivs

Ein Objekt der Größe y = 2.6 m in einer Entfernung a = 4 m soll formatfüllend mit einer 2/3"-Kamera aufgenommen werden. (2y ' = 11 mm) aufgenommen werden. Welche Brennweite des Objektivs ist erforderlich?

Formel (6):

(2) Gegeben: Objektgröße, Sensorgröße, Brennweite
       Gesucht: Objektabstand

Ein 10 m großes Objekt (y = 5 m) soll mit einer 1/2"-Kamera (y' = 4 mm) und einem Schneider-Kreuznach 1,4/12 mm Objektiv formatfüllend aufgenommen werden. Wie weit muss die Kamera vom Objekt entfernt sein?

Formel (10):

(3) Gegeben: Brennweite, Sensorgröße
      Gesucht: Bildwinkel w

Welchen Raumwinkel muss eine Beleuchtung ausleuchten, um mit einer 2/3-Kamera (2y' = 11 mm) und einem Schneider-Kreuznach 1,4/8 mm Objektiv ein gleichmäßig helles Bild zu erhalten?

Formel (7):

(4) Bestimmung der Objektgröße für verschiedene Bildsensorformate (bei gleichem Objektiv)

Objektentfernung  1/2 Zoll Sensor: 2 y' = 8 mm
a = 1 m                         2/3 Zoll Sensor: 2 y ' = 11 mm
f' = 35 mm                  1 Zoll Sensor: 2 y' = 16 mm

Formel (8):

Das Verhältnis der Objektgrößen ist also gleich dem Verhältnis der Sensorgrößen.