Mathematik, Magie und MTF: Ein Spickzettel für die Machine Vision Community

Obwohl die MTF der beste Indikator für die Leistung eines Objektivs ist, verstehen die meisten Optikprofis nicht wirklich, was sich hinter dieser Zahl verbirgt, und wir sagen das aufgrund unserer mehr als 35-jährigen Erfahrung in der direkten Zusammenarbeit mit ihnen.

Und das ist keine Schande. Die Mathematik, die sich hinter dem MTF verbirgt, ist mehr als beängstigend, die Diagramme, die zu seiner Darstellung verwendet werden, sind oft verwirrend und das Fehlen einer Standardterminologie zur Beschreibung des MTF ist irreführend.

Aber das muss nicht sein. Und man muss kein Mathematikgenie sein, um die MTF wirklich zu verstehen. Lassen Sie sich von diesem Dokument leiten.

MTF verstehen: Theorie und Praxis
Bevor wir uns mit der MTF beschäftigen, sollten wir uns einige grundlegende Wahrheiten der Optik vergegenwärtigen. Erstens: Der Grund, warum wir ein Objektiv haben, ist die Abbildung eines Objekts in einem Bild. Und ein Objekt besteht aus unendlich vielen kleinen Punkten. Die Aufgabe des Objektivs ist es, diese Vielzahl von Punkten auf einem Sensor abzubilden.

Das Bild, das von jedem Quell- oder Objektpunkt erzeugt wird, wird an den entsprechenden Bildpunkten lokalisiert und mit der Helligkeit des ursprünglichen Objekts an diesen Stellen gewichtet, um eine kontinuierliche Bildfunktion namens „g“ zu erhalten. Wir können es schon hören: „Stu und Jim, ihr habt gesagt, ihr würdet es mir leicht machen. Es ist nicht leicht.

Habt Geduld mit uns. Bald wird es einfacher. Die lange mathematische Formel ist so undurchsichtig, wie wir nur sein können. Und wir müssen zugeben, dass die Mathematik, die hinter der Berechnung der MTF steckt, die schwierigste ist, die wir kennen. Aber lassen Sie uns Ihnen zeigen, was diese Formel wirklich darstellt und welches Phänomen sie wirklich beschreibt, und Sie werden die MTF klarer als das sehen, was sie wirklich ist und was sie Ihnen helfen kann.

Diese Grafik ist ein Testbild und beginnt mit sehr breiten schwarzen und weißen Balken. Am Anfang sind die Balken komplett schwarz und weiß - ein Bild mit hohem Kontrast - aber wenn man von links nach rechts schaut, werden die Balken mit zunehmender Frequenz immer dünner.

Das Objektiv beobachtet dieses Muster und gibt es wieder (siehe „BILD“ rechts). Beachten Sie, dass die großen Balken, die als niedrig aufgelöst gelten, unter dem Objektiv schwarz-weiß bleiben. Das Objektiv überträgt sie sehr leicht. Je höher jedoch die Frequenz des Testmusters ist und je kleiner die Linien werden, desto grauer werden die Bildwerte und desto geringer wird der Kontrast zwischen ihnen. Perfektes Schwarz und Weiß gibt es nicht mehr.

Stattdessen erhält man mittlere Grautöne, bis Weiß und Schwarz kaum noch unterscheidbar sind.

Dieses Phänomen wird im Abschnitt „Helligkeitsverteilung“ des Diagramms mathematisch beschrieben, wobei Schwarz den Wert 1 und Weiß den Wert 0 erhält. Beachten Sie, wie die Helligkeit im mittleren Bereich abnimmt, wenn das Bild grauer wird. Ganz rechts sieht man dann, wie klein die Helligkeitsverteilung wird: Hell und Dunkel sind kaum noch zu unterscheiden.

Dies zeigt, dass ein Objektiv Bilder mit niedriger Frequenz oder niedriger Auflösung leichter übertragen kann als Bilder mit hoher Frequenz. Auch ein relativ billiges Objektiv kann große Balken oder Punkte übertragen und so ein recht gutes Bild erzeugen. Ein gutes Objektiv zeigt seinen Wert erst bei höheren und mittleren Auflösungen.

Betrachten wir nun die Helligkeitsverteilung am unteren Bildrand. Sie zeigt, wie die Modulation der Helligkeitsverteilung, die wir gerade untersucht haben, aufgezeichnet werden kann. Und wissen Sie was? Das ist eine typische MTF-Kurve. Alle MTF-Kurven haben die gleiche Form - diese Form - weil theoretisch jedes Objektiv einen Grenzpunkt hat, an dem es keine Modulation mehr gibt, an dem es kein Bild mehr erzeugen kann. Die Kurve gibt an, wie gut ein bestimmtes Objektiv sein Bild wiedergibt.

Während wir also mit sehr komplexer Mathematik anfingen, fanden wir bald grafische Möglichkeiten, diese Mathematik darzustellen, die viel ansprechender und aufschlussreicher waren. Einfach ausgedrückt: Wir können die Mathematik beiseite lassen und wissen, dass es einen sehr einfachen Weg gibt, ein Testmuster eines Objekts zu nehmen, die Bildhelligkeit zu quantifizieren und die Modulationsübertragungsfunktion in Linienpaaren pro Millimeter grafisch darzustellen, was uns zur MTF führt. Oder zumindest den größten Teil des Weges.

Abbildung B: Illustration der Objektivübertragung

Abbildung A: Beispiel Objekt - Objektiv - Bild

Es wird gefährlich
Betrachten wir nun Abbildung B, die die MTF-Geschichte weiter vervollständigt. Auf der linken Seite des Objektivs befindet sich ein Intensitätsprofil des Objekts, das mit den perfekt schwarzen und weißen Balken in Abbildung A korreliert.

Da das Objektiv das Objekt als Bild wiedergibt, nimmt die Intensität der schwarzen und weißen Balken ab, wenn sie sich nach rechts über das Diagramm bewegen. Dieses Phänomen wird mathematisch durch die Gleichungen unten dargestellt. Die erste Gleichung zeigt, wie man die Modulation des Objekts und seines Bildes berechnet, indem man die Maximal- und Minimalwerte der jeweiligen Intensitäten - die Spitzen und Täler ihrer jeweiligen Täler - verwendet und sie entsprechend einsetzt.

Der zweite Teil zeigt die goldene Formel zur Berechnung der MTF, die wir alle anwenden können: Dividiere die Modulation des Bildes durch die Modulation des Objekts. Die MTF ist also nichts anderes als das Verhältnis der Modulation im Bildraum zur Modulation im Objektraum. Oder anders ausgedrückt: Die MTF sagt uns, wie gut die Modulation in einem Objekt durch die Optik auf ein Bild übertragen wird. Jetzt sind Sie gefährlich.

Aber wir wollen, dass Sie gut gerüstet sind, wenn es darum geht, das richtige Objektiv für Ihr Bildverarbeitungssystem auszuwählen, also werfen wir einen Blick auf Abbildung C.

MTF in der realen Welt
Die MTF existiert nicht im luftleeren Raum. Sie wird durch die Orientierung des Objekts im Raum beeinflusst. Stellen Sie sich ein Bildverarbeitungssystem vor, das nach Fehlern auf einer Rolle Klebeband sucht - die Fehler können schräg nach oben, horizontal oder vertikal zur Kamera verlaufen.

Echte MTF-Diagramme berücksichtigen diese Faktoren, indem sie die MTF in radialer und tangentialer Richtung beschreiben. Die radialen und tangentialen Richtungen liefern MTF-Werte für ein Bildfeld von 90 Grad und helfen dem Optiker bei der Auswahl eines Objektivs, das in einer Richtung gut und in einer anderen schlecht ist.

Diese ganzheitliche Betrachtung der MTF, die Strukturen senkrecht und tangential zur optischen Achse des Objektivs zeigt, ist in Abbildung D, dem klassischen MTF-Diagramm, dargestellt.

Abbildung C: Radiale und tangentiale Ausrichtung der Objektmuster

Abbildung D: Klassisches MTF-Diagramm

Wie liest man eine klassische MTF-Kurve?
Optikingenieure kennen dieses klassische MTF-Diagramm. Es ist das, was sie von einem typischen Datenblatt erhalten, wenn sie mit einem seriösen Optikunternehmen in Nordamerika zu tun haben. Wir erwähnen speziell Nordamerika, weil es, wie wir in früheren Artikeln festgestellt haben, in unserer Branche viele Ungereimtheiten gibt. Ein Beispiel: Die MTF wird in Europa und Asien anders dargestellt als in Nordamerika.

Aber lassen Sie uns zunächst bei Abbildung D verweilen und verstehen, was wir hier sehen. In Nordamerika haben wir eine xy-Darstellung, bei der die MTF immer auf der vertikalen y-Achse liegt. Die MTF wird hier als „Modul der OTF“ bezeichnet, wobei OTF für optische Übertragungsfunktion steht. Lassen Sie sich von dieser Begriffsverwirrung nicht irritieren: Das ist nur eine schicke Umschreibung für die MTF.

Auf der horizontalen x-Achse ist die Frequenz in Linienpaaren pro Millimeter aufgetragen. Wir haben hier also ein Diagramm, das von Null, wo wir theoretisch riesige schwarze Balken vorfinden würden, bis zu 60 Linienpaaren pro Millimeter reicht, was technisch gesehen 120 Linien abwechselnd schwarzer und weißer Balken auf einem winzigen 1-Millimeter-Raum bedeutet.

Oben links in der Grafik sehen Sie die Bezeichnung „TS 0.00 DEG“, wobei der Buchstabe T für tangential, der Buchstabe S für sagittal (frustrierenderweise ein anderes Wort für radial) und DEG für Grad steht. Wenn man den beiden Linien von 0 Grad aus folgt, zeigen sie auf eine dunkelblaue Linie, und es ist nur eine Linie - das meinen wir mit „auf der Achse“. Es gibt keine Unterteilung, keinen Unterschied zwischen radial und tangential. Wir sind bei 0,0 Grad, das ist die optische Achse des Objektivs.

T und S hingegen werden als „außeraxiale“ Aberrationen bezeichnet und weisen einen Leistungsunterschied von 90 Grad auf. Dieser Leistungsunterschied beginnt beim Verlassen der optischen Achse, also bei 0,0 Grad.

Nach TS 0 Grad folgt TS 10 Grad. Dort verläuft eine grüne Linie sehr hoch: die oberste Linie in diesem Diagramm. Sie hat einen MTF-Wert von ~58% Modulation. Das ist der sagittale Wert - er hat eine hohe Modulation, fast 60%. Und der tangentiale Wert beträgt 20%.

Das große Delta zwischen dem sagittalen und dem tangentialen Wert zeigt etwas Wichtiges: Es bedeutet, dass das Objektiv einen Astigmatismus hat. Bei einer einzigen Brennweite ist die Leistung in einer Richtung deutlich besser als in einer anderen.

Dies ist sehr praktisch und kann aus einem MTF-Diagramm extrapoliert werden. Ein signifikanter Unterschied zwischen radialen/sagittalen und tangentialen Werten - größer als 2:1 - bedeutet, dass das Objektiv Astigmatismus aufweist und möglicherweise nicht für Ihr Abbildungssystem geeignet ist. Betrachten Sie dies als zuverlässige Faustregel.

Wenn Sie sich nun die letzte Reihe von Linien ansehen, die 14 Grad anzeigt, werden Sie feststellen, dass die untere Linie bei 20 % Modulation endet, während die obere Linie bei 30 % endet. Dies zeigt uns, dass das Objektiv weniger Astigmatismus aufweist, je größer die Abweichung von der Achse ist, nämlich nur 10 %, was völlig akzeptabel ist.

Zusammenfassend zeigt uns dieses klassische MTF-Diagramm, wie gut das Objektiv bis zu einer bestimmten Frequenz oder einer bestimmten Anzahl von Linienpaaren pro Millimeter arbeitet. Es zeigt uns, wie gut das Objektiv das Objekt über die MTF abbilden kann. Je höher die MTF, desto besser ist die Abbildungsleistung. Je niedriger die MTF, desto schlechter kann es das Objekt abbilden.

Eine letzte Bemerkung zu Abbildung D: Optikingenieure arbeiten immer in Hälften. Wenn wir die MTF aufzeichnen, tun wir das entweder in Bezug auf die Höhe der Bildebene (ein Thema für einen anderen Artikel) oder in Bezug auf das Winkelgesichtsfeld. Hier haben wir die MTF für ein Winkelgesichtsfeld von 10 Grad und 14 Grad angegeben, in Wirklichkeit aber für + oder -10 Grad und + oder -14 Grad. Zusammenfassend kann man sagen, dass diese MTF-Darstellung ein volles Sehfeld von 28 Grad abdeckt. Dies liegt daran, dass die Objektive als rotationssymmetrisch betrachtet werden.
 

Abbildung E: MTF vs. Bildhöhe

Abbildung F:

Der Blick durch den Spiegel eines Spiegelkabinetts
Kommen wir zu Bild E. So stellen die internationale Normungsorganisation und die deutschen Hersteller die MTF normalerweise dar. Sieht ganz anders aus, oder? Ironischerweise ist es die gleiche Darstellung. Die Daten sind identisch. Um die Verwirrung aufzulösen, gehen wir wie folgt vor.

Auf der vertikalen y-Achse, wo „Modul der OTF von 0 bis 1“ steht, ist die MTF. Und auf der horizontalen Achse, wo „Y-FELD IN DEGREES“ steht? In unserem klassischen nordamerikanischen MTF-Diagramm zeigte die X-Achse die Frequenz an. Hier ist der Parameter stattdessen das Sichtfeld - genau das, was wir vorher gemessen haben - bis zu + oder -14 Grad.

Sehen wir uns einige der Linienpaare an. Die oberen Linien sind schwarz, die mittleren grün. Die oberen Linien beginnen auf der vertikalen y-Achse bei etwa 78 %. Beachten Sie, wie sie sich teilen, wenn sie sich von der Achse wegbewegen. Die eine ist eine durchgezogene Linie, die andere wird zu einer gestrichelten Linie: Das sind Ihre radialen und tangentialen Linien.

Gehen Sie weiter zu dem grünen Paar, das bei etwa 42 % beginnt. Sobald Sie etwa 1 Grad von der horizontalen Achse entfernt sind, beginnt es sich aufzulösen - sehen Sie die Striche? Und schauen Sie sich ~8 oder 9 Grad an. Der große Bauch dazwischen zeigt den Astigmatismus.

Der Hauptunterschied zwischen der europäischen und der nordamerikanischen MTF-Darstellungsnorm besteht darin, dass die Europäer die MTF entweder als „Gesichtsfeld“ oder als „tatsächliche Bildebenenhöhe“ darstellen. Und die Linien, die dort gezeichnet werden, sind diskrete Frequenzen, und sie sind in der Tabelle unten aufgeführt - 20, 40, 60 Linienpaare pro Millimeter. Für einen Optikingenieur ist das die gleiche Information wie in dem anderen Diagramm, nur anders dargestellt.

Dennoch stellt sich die Frage, warum diese Art der Darstellung der MTF gewählt wurde. Es zeigt weniger Daten. Diese Darstellung zeigt nur drei diskrete Frequenzen, während die klassische nordamerikanische MTF-Darstellung jede Frequenz zwischen 0 und 60 mm zeigt. Trotzdem muss ich zugeben, dass ich die Einfachheit dieses Ansatzes verstehe. Es ist praktisch, einfach über das Diagramm zu fahren und zu sehen, wie sich die Objektivleistung von der Achse bis zum extremen Off-Axis-Bereich ändert.

Die Knockout-Frage (und wie man sie mit MTF beantwortet)

Wir haben uns also viel vorgenommen. Wir haben eine Reihe von MTF-Diagrammen und Gleichungen unter die Lupe genommen, um sie leichter lesbar und navigierbar zu machen und sie hoffentlich zu entmystifizieren.

Das ist großartig, aber wir wissen, dass Sie immer noch eine Frage haben, und zwar eine große, die große Frage: Woher weiß ich, ob das Objektiv, das ich mir gerade anschaue, gut genug für mein System ist? Das ist der K.O.-Schlag für die MTF, und genau das liefert Abbildung F.

Hier ist eine weitere Faustregel, auf die man sich verlassen kann: Wählen Sie ein Objektiv mit einem Kontrast von 30% (MTF) bei 2/3 Nyquist, und Ihr Objektiv wird niemals der Gating-Faktor Ihres Bildverarbeitungssystems sein.

Zerlegen wir dies in überschaubare Teile. Erstens: 30 % MTF. Wir wollen sicherstellen, dass unser Objektiv - unabhängig davon, welches Sichtfeld wir betrachten, on-axis oder off-axis - eine Modulation von 30 % oder mehr hat, die drei Viertel der Auflösungsgrenze des Sensors überschreitet.

Die Auflösungsgrenze eines Sensors wird „Nyquist“ genannt. Sie kann sehr einfach berechnet werden. Nyquist wird immer in Linienpaaren pro Millimeter berechnet und ist nichts anderes als 2x Pixelgröße (in mm) geteilt durch 1, also 1 durch 2x Pixelgröße.

Die Pixelgröße muss jedoch in Millimetern angegeben werden, damit Sie wissen, dass Sie schnell umrechnen müssen. In Datenblättern wird die Pixelgröße oft in Mikrometern angegeben. Multiplizieren Sie den Mikrometerwert einfach mit 0,001 (oder setzen Sie einfach zwei Nullen vor die Zahl), und schon haben Sie Ihre Umrechnung. Ein 5-Mikrometer-Pixel?
0,005 Millimeter. Automatisch!

Bleiben wir also bei unserem 5-Mikrometer-Pixel, um zu Nyquist zu kommen. Wir wissen bereits, dass unser Pixel 0,005 Millimeter groß ist. Also multiplizieren wir 0,005 mit 2 und teilen durch 1, was 100 Linienpaare pro Millimeter ergibt.

In Abbildung F haben wir also ein MTF-Diagramm mit 100 Linienpaaren pro Millimeter, was einer Pixelgröße von 5 Mikrometern entspricht. Wir wollen sicherstellen, dass das Objektiv eine MTF von 30 %t oder mehr bei Nyquist hat, was in diesem Beispiel zwei Drittel von 100, also 66,7, entspricht. Sehen Sie die schöne horizontale Linie?

Lassen Sie sich nicht von dem ablenken, was ganz rechts im Diagramm passiert. Schauen Sie weg von 100! Konzentrieren Sie sich auf zwei Drittel der Grenzauflösung. Und Sie sollten sich fragen: Hat das Objektiv eine MTF von 30 % oder mehr, sowohl in axialer als auch in radialer Richtung? Wenn diese Bedingung erfüllt ist, haben Sie das richtige Objektiv, das die Leistung Ihres Systems nicht beeinträchtigen wird.

Ein letzter Tipp: Wenn Sie bis zu 100 Linienpaare pro mm gehen, sehen Sie, dass dieses Objektiv bei ~19% MTF endet. Das ist gut. Sie wollen keine 30% oder mehr jenseits von Nyquist, denn dann könnten Moiré-Effekte ins Spiel kommen. Haben Sie jemals einen Nachrichtensprecher im hochauflösenden Fernsehen gesehen, dessen gestreifte Krawatte den Bildschirm verschmiert - das ist der Moiré-Effekt. Er entsteht, wenn das Objektiv einfach zu gut ist. Das wollen Sie nicht, also denken Sie daran, die MTF bei Nyquist und nicht bei 100 % zu betrachten.

MTF Ninja!
Von den mathematischen Grundlagen der MTF über die Nuancen der Kurven, die die MTF-Diagramme definieren, bis hin zu ihrer Anwendbarkeit bei der Objektivauswahl und der Systementwicklung haben wir hier schon viel behandelt. Ganz gleich, ob Sie eine Auffrischung der Nyquist-Methode, eine Hilfe bei der Übersetzung internationaler MTF-Diagramme oder einen Spickzettel für all das oben Genannte benötigen, halten Sie dieses Dokument griffbereit, denn die MTF wird in absehbarer Zeit nicht verschwinden.

Bitte beachten Sie, dass jedes Objektiv bei verschiedenen Blendeneinstellungen (f-Zahlen) unterschiedliche optische Leistungen (MTF) aufweist. Das gleiche gilt für unterschiedliche Arbeitsabstände oder Vergrößerungen.

Bei der Beurteilung eines Objektivs müssen Sie daher versuchen, ein MTF-Diagramm zu erhalten, das Ihren Abbildungsanforderungen genau entspricht.

Tatsächlich hat die MTF einen positiven Kaskadeneffekt auf die gesamte Konstruktion von Bildverarbeitungssystemen. Ihr Verständnis der MTF hilft Ihnen nicht nur bei der Auswahl des besten Objektivs für Ihr System, sondern auch bei der Berechnung des gesamten Signal-Rausch-Verhältnisses Ihres Systems, das übrigens das Produkt der individuellen MTFs der einzelnen Komponenten ist.

Die Berechnung ist denkbar einfach. Viel Spaß beim Multiplizieren.

_{Anmerkung: Die Autoren bedanken sich bei folgenden Kollegen für ihre Beiträge zu diesem Artikel: Dr. Karl Lenhardt und Steffen Mahler (Jos. Schneider Optische Werke GmbH).}